∫ ( k f ) = k ∫ f for k ∈ R \displaystyle \int \bigl(k f\bigr) = k \int f \text{ for } k \in \mathbf{R} ∫ ( k f ) = k ∫ f for k ∈ R
∫ ( f ± g ) = ∫ f ± ∫ g \displaystyle \int \bigl(f \pm g\bigr) = \int f \pm \int g ∫ ( f ± g ) = ∫ f ± ∫ g
∫ ( ( f ′ ∘ g ) ( g ′ ) ) = ( f ∘ g ) + C \displaystyle \int \Bigl((f' \circ g)(g') \Bigr) = (f \circ g) + C ∫ ( ( f ′ ∘ g ) ( g ′ ) ) = ( f ∘ g ) + C
∫ f g ≠ ∫ f + ∫ g \displaystyle \int f g \mathbf{\neq} \int f + \int g ∫ f g = ∫ f + ∫ g
∫ f g ≠ ∫ f ∫ g \displaystyle \int \frac{f}{g} \mathbf{\neq} \frac{\int f}{\int g} ∫ g f = ∫ g ∫ f
∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C for n ≠ − 1 \displaystyle \int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \text{ for } n\neq -1 ∫ x n d x = n + 1 1 x n + 1 + C for n = − 1
∫ cos ( x ) d x = sin ( x ) + C \displaystyle \int \cos(x) \,\mathrm{d}x = \sin(x) + C ∫ cos ( x ) d x = sin ( x ) + C
∫ sec ( x ) tan ( x ) d x = sec ( x ) + C \displaystyle \int \sec(x)\tan(x) \,\mathrm{d}x = \sec(x) + C ∫ sec ( x ) tan ( x ) d x = sec ( x ) + C
∫ sec 2 ( x ) d x = tan ( x ) + C \displaystyle \int \sec^2(x) \,\mathrm{d}x = \tan(x) + C ∫ sec 2 ( x ) d x = tan ( x ) + C
∫ sin ( x ) d x = − cos ( x ) + C \displaystyle \int \sin(x) \,\mathrm{d}x = -\cos(x) + C ∫ sin ( x ) d x = − cos ( x ) + C
∫ csc ( x ) cot ( x ) d x = − csc ( x ) + C \displaystyle \int \csc(x)\cot(x) \,\mathrm{d}x = -\csc(x) + C ∫ csc ( x ) cot ( x ) d x = − csc ( x ) + C
∫ csc 2 ( x ) d x = − cot ( x ) + C \displaystyle \int \csc^2(x) \,\mathrm{d}x = -\cot(x) + C ∫ csc 2 ( x ) d x = − cot ( x ) + C
For each of these indefinite integrals, write down a formula
for the family of all antiderivatives of its integrand.
Use software capable of symbolic integration to check your formulas.
∫ 17 x 2 − 2 d x \displaystyle \int 17x^2-2 \,\mathrm{d}x ∫ 17 x 2 − 2 d x
∫ x 17 d x \displaystyle \int x^{17} \,\mathrm{d}x ∫ x 17 d x
∫ 1 x 17 d x \displaystyle \int \frac{1}{x^{17}} \,\mathrm{d}x ∫ x 17 1 d x
∫ x 17 d x \displaystyle \int \sqrt[17]{x} \,\mathrm{d}x ∫ 17 x d x
∫ 1 17 d x \displaystyle \int \frac{1}{17} \,\mathrm{d}x ∫ 17 1 d x
∫ 17 x π d x \displaystyle \int 17x^{\pi}\,\mathrm{d}x ∫ 17 x π d x
∫ 1.7 x π d x \displaystyle \int 1.7x^{\pi}\,\mathrm{d}x ∫ 1.7 x π d x
∫ 1 ( x π ) 2 d x \displaystyle \int \frac{1}{(x\pi)^2}\,\mathrm{d}x ∫ ( x π ) 2 1 d x
∫ 1. 7 − 1 x 7.1 d x \displaystyle \int 1.7^{-1}x^{7.1}\,\mathrm{d}x ∫ 1. 7 − 1 x 7.1 d x
∫ 1. 7 2 x − 7.1 d x \displaystyle \int 1.7^{2}x^{-7.1}\,\mathrm{d}x ∫ 1. 7 2 x − 7.1 d x
∫ x 2 x − 7.1 d x \displaystyle \int x^{2}x^{-7.1}\,\mathrm{d}x ∫ x 2 x − 7.1 d x
∫ x 2 1 7 − 7.1 d x \displaystyle \int x^{2}17^{-7.1}\,\mathrm{d}x ∫ x 2 1 7 − 7.1 d x
∫ x 3 + x 2 + x + 1 + 1 x 2 + 1 x 3 d x \displaystyle \int x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,\mathrm{d}x ∫ x 3 + x 2 + x + 1 + x 2 1 + x 3 1 d x
∫ ( x − 17 ) 2 d x \displaystyle \int \bigl(x-17\bigr)^2 \,\mathrm{d}x ∫ ( x − 17 ) 2 d x
∫ ( x − 1 7 2 ) d x \displaystyle \int \bigl(x-17^2\bigr) \,\mathrm{d}x ∫ ( x − 1 7 2 ) d x
∫ ( x − 2 ) 17 d x \displaystyle \int \bigl(x-2\bigr)^{17} \,\mathrm{d}x ∫ ( x − 2 ) 17 d x
∫ ( 17 x − 2 ) 17 d x \displaystyle \int \bigl(17x-2\bigr)^{17} \,\mathrm{d}x ∫ ( 17 x − 2 ) 17 d x
∫ x ( 17 x 2 − 2 ) 17 d x \displaystyle \int x\bigl(17x^2-2\bigr)^{17} \,\mathrm{d}x ∫ x ( 17 x 2 − 2 ) 17 d x
∫ ( 17 x 16 − 17 ) ( x 17 − 17 x + 2 ) d x \displaystyle \int \bigl(17x^{16}-17\bigr)\bigl(x^{17}-17x+2\bigr) \,\mathrm{d}x ∫ ( 17 x 16 − 17 ) ( x 17 − 17 x + 2 ) d x
∫ x 16 − 1 ( x 17 − 17 x + 2 ) 2 d x \displaystyle \int \frac{x^{16}-1}{(x^{17}-17x+2)^2} \,\mathrm{d}x ∫ ( x 17 − 17 x + 2 ) 2 x 16 − 1 d x
∫ 1 x 7 d x \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[7]{x}} \,\mathrm{d}x ∫ 7 x 1 d x
∫ x x 2 − 1 d x \displaystyle \int x\sqrt{x^2-1} \,\mathrm{d}x ∫ x x 2 − 1 d x
∫ x 3 x 2 − 1 d x \displaystyle \int x^3\sqrt{x^2-1} \,\mathrm{d}x ∫ x 3 x 2 − 1 d x
∫ x 7 x 2 − 1 d x \displaystyle \int x^7\sqrt{x^2-1} \,\mathrm{d}x ∫ x 7 x 2 − 1 d x
∫ ( x − 1 ) x 2 − 2 x − 1 d x \displaystyle \int (x-1)\sqrt{x^2-2x-1} \,\mathrm{d}x ∫ ( x − 1 ) x 2 − 2 x − 1 d x
∫ ( x − 1 ) x 2 − 2 x − 1 d x \displaystyle \int \frac{(x-1)}{\sqrt{x^2-2x-1}} \,\mathrm{d}x ∫ x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) d x
∫ 71 sin ( x ) + 17 cos ( x ) d x \displaystyle \int 71\sin(x) + 17\cos(x) \,\mathrm{d}x ∫ 71 sin ( x ) + 17 cos ( x ) d x
∫ sec ( x ) tan ( x ) d x \displaystyle \int \sec(x)\tan(x) \,\mathrm{d}x ∫ sec ( x ) tan ( x ) d x
∫ 17 sin ( x ) cos ( x ) d x \displaystyle \int 17\sin(x)\cos(x) \,\mathrm{d}x ∫ 17 sin ( x ) cos ( x ) d x
∫ 17 ( 2 x − 1 ) sec ( x 2 − x − 1 ) tan ( x 2 − x − 1 ) d x \displaystyle \int 17(2x-1)\sec(x^2-x-1)\tan(x^2-x-1) \,\mathrm{d}x ∫ 17 ( 2 x − 1 ) sec ( x 2 − x − 1 ) tan ( x 2 − x − 1 ) d x
∫ sin ( x ) sin ( cos ( x ) ) d x \displaystyle \int \sin(x)\sin\bigl(\cos(x)\bigr) \,\mathrm{d}x ∫ sin ( x ) sin ( cos ( x ) ) d x
∫ cos ( x ) sin 3 ( x ) d x \displaystyle \int \cos(x)\sin^{3}(x) \,\mathrm{d}x ∫ cos ( x ) sin 3 ( x ) d x
∫ 5 x 6 sec 2 ( x 7 ) d x \displaystyle \int 5x^6\sec^2(x^7) \,\mathrm{d}x ∫ 5 x 6 sec 2 ( x 7 ) d x
∫ tan ( x ) tan ( sec ( x ) ) sec ( x ) d x \displaystyle \int \tan(x)\tan\bigl(\sec(x)\bigr)\sec(x) \,\mathrm{d}x ∫ tan ( x ) tan ( sec ( x ) ) sec ( x ) d x